Công thức Toán

Tra nhanh theo lớp và chủ đề. Công thức là văn bản thật nên phóng to bao nhiêu cũng nét, và tìm được bằng Ctrl+F.

Lớp 12: 6 chủ đề, 136 công thức.

Khảo sát hàm số & tiệm cận

Lớp 12
· 26 công thức

$Bảng biến thiên$

Dòng

y^{'}

ghi dấu đạo hàm, dòng

y

ghi chiều biến thiên. Đổi dấu

+ \to -

cho cực đại,

- \to +

cho cực tiểu.

$Đọc dấu f^{'} (x)$

Dấu $f^{'}$ trên $K$	Kết luận
$f^{'} (x) \geq 0$	Đồng biến trên $K$
$f^{'} (x) \leq 0$	Nghịch biến trên $K$
Đổi dấu $+ \to -$	Cực đại tại $x_{0}$
Đổi dấu $- \to +$	Cực tiểu tại $x_{0}$
Không đổi dấu	Không là cực trị

$Cực trị theo f^{''}$

Khi $f^{'} (x_{0}) = 0$ và	Kết luận
$f^{''} (x_{0}) > 0$	Cực tiểu tại $x_{0}$
$f^{''} (x_{0}) < 0$	Cực đại tại $x_{0}$
$f^{''} (x_{0}) = 0$	Chưa kết luận được

$Điều kiện theo dạng hàm$

Yêu cầu	Điều kiện
Bậc ba đồng biến $R$	$a > 0, b^{2} - 3 a c \leq 0$
Bậc ba nghịch biến $R$	$a < 0, b^{2} - 3 a c \leq 0$
Bậc ba: 2 cực trị	$b^{2} - 3 a c > 0$
Bậc ba: không cực trị	$b^{2} - 3 a c \leq 0$
Trùng phương: 3 cực trị	$ab < 0$
Trùng phương: 1 cực trị	$ab > 0$

$3 đường tiệm cận$

Loại	Đường tiệm cận & điều kiện
Đứng	$x = x_{0}$ khi $x \to x_{0}^{\pm} lim f (x) = \pm \infty$
Ngang	$y = y_{0}$ khi $x \to \pm \infty lim f (x) = y_{0}$
Xiên	$y = a x + b$ khi $x \to \pm \infty lim [f (x) - (a x + b)] = 0$

$a = x \to \pm \infty lim \frac{f ( x )}{x}, b = x \to \pm \infty lim [f (x) - a x]$

$Tâm đối xứng$

Hàm số	Tâm đối xứng $I$
$y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$	$(- \frac{b}{3 a}; f (- \frac{b}{3 a}))$
$y = \frac{a x + b}{c x + d}$	$(- \frac{d}{c}; \frac{a}{c})$
$y = m x + n + \frac{r}{p x + q}$	Giao của TCĐ và TCX

$Dáng đồ thị hàm bậc ba$

a > 0

. Có 2 cực trị khi

b^{2} - 3 a c > 0

. Với

a < 0

thì lật ngược.

$Dáng đồ thị hàm trùng phương$

a > 0

. Đồ thị luôn đối xứng qua trục

O y

$Dáng đồ thị hàm phân thức$

Hai nhánh, nhận giao hai tiệm cận làm tâm đối xứng.

$Các hàm số cơ bản$

Hàm số	Dạng
Bậc nhất	$y = a x + b$
Bậc hai	$y = a x^{2} + b x + c$
Bậc ba	$y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$
Trùng phương	$y = a x^{4} + b x^{2} + c$
Phân thức bậc nhất	$y = \frac{a x + b}{c x + d}$

$GTLN, GTNN trên [a; b]$

Giải $f^{'} (x) = 0$ , lấy các nghiệm $x_{i} \in [a; b]$
Tính $f (a)$ , $f (b)$ và $f (x_{i})$
Số lớn nhất là $max f$ , nhỏ nhất là $min f$

Nguyên hàm & tích phân

Lớp 12
· 33 công thức

$Nguyên hàm cơ bản$

$\int f (x) d x = F (x) + C \Leftrightarrow F^{'} (x) = f (x)$
$\int k d x = k x + C$
$\int k f (x) d x = k \int f (x) d x$
$\int [f (x) \pm g (x)] d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x$
$\int x^{α} d x = \frac{x ^{α + 1}}{α + 1} + C$
$α \neq = - 1$
$\int \frac{d x}{x} = ln ∣ x ∣ + C$
$\int e^{x} d x = e^{x} + C$
$\int a^{x} d x = \frac{a ^{x}}{ln a} + C$
$\int sin x d x = - cos x + C$
$\int cos x d x = sin x + C$
$\int \frac{d x}{cos ^{2} x} = tan x + C$
$\int \frac{d x}{sin ^{2} x} = - cot x + C$
$\int tan x d x = - ln ∣ cos x ∣ + C$
$\int cot x d x = ln ∣ sin x ∣ + C$
$\int x d x = \frac{2}{3} x x + C$
$\int \frac{d x}{x} = 2 x + C$
$\int ln x d x = x ln x - x + C$
$x > 0$

$Dạng a x + b$

$\int (a x + b)^{α} d x = \frac{1}{a} \cdot \frac{( a x + b ) ^{α + 1}}{α + 1} + C$
$\int \frac{d x}{a x + b} = \frac{1}{a} ln ∣ a x + b ∣ + C$
$\int e^{a x + b} d x = \frac{1}{a} e^{a x + b} + C$
$\int sin (a x + b) d x = - \frac{1}{a} cos (a x + b) + C$
$\int cos (a x + b) d x = \frac{1}{a} sin (a x + b) + C$
$\int \frac{d x}{( a x + b ) ^{n}} = \frac{- 1}{a ( n - 1 ) ( a x + b ) ^{n - 1}} + C$
$n \neq = 1$

$Tính chất tích phân$

$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$
$\int_{a}^{b} f = - \int_{b}^{a} f, \int_{a}^{a} f = 0$
$\int_{a}^{b} f = \int_{a}^{c} f + \int_{c}^{b} f$
$\int_{a}^{b} (f \pm g) = \int_{a}^{b} f \pm \int_{a}^{b} g$
$\int_{a}^{b} k f = k \int_{a}^{b} f$

$Đổi biến & từng phần$

$\int_{a}^{b} f (u (x)) u^{'} (x) d x = \int_{u (a)}^{u (b)} f (u) d u$
$\int_{a}^{b} u d v = [uv]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v d u$
$\int u d v = uv - \int v d u$

$Cận đối xứng$

$f lẻ \Rightarrow \int_{- a}^{a} f (x) d x = 0$
$f ch \tilde{\overset{a}{˘}} n \Rightarrow \int_{- a}^{a} f (x) d x = 2 \int_{0}^{a} f (x) d x$

Ứng dụng của tích phân

Lớp 12
· 14 công thức

$Diện tích hình phẳng$

$S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x$
nếu $f (x) \geq 0$ trên $[a; b]$ thì $S = \int_{a}^{b} f (x) d x$
$S = \int_{a}^{b} f (x) - g (x) d x$
$S = \int_{a}^{x_{1}} ∣ f ∣ d x + \int_{x_{1}}^{x_{2}} ∣ f ∣ d x + \dots + \int_{x_{n}}^{b} ∣ f ∣ d x$
$x_{1}, \dots, x_{n}$ là các nghiệm của $f (x) = 0$ trên $[a; b]$

$Thể tích theo thiết diện$

$V = \int_{a}^{b} S (x) d x$
$S (x)$ là diện tích thiết diện vuông góc $O x$ tại $x$
$V = \int_{c}^{d} S (y) d y$

$Thể tích khối tròn xoay$

$V_{x} = π \int_{a}^{b} [f (x)]^{2} d x$
$V_{y} = π \int_{c}^{d} [g (y)]^{2} d y$
$V = π \int_{a}^{b} ([f (x)]^{2} - [g (x)]^{2}) d x$
$∣ f (x) ∣ \geq ∣ g (x) ∣$ trên $[a; b]$

$Quãng đường, vận tốc, gia tốc$

$s = \int_{a}^{b} ∣ v (t) ∣ d t$
$s (b) = s (a) + \int_{a}^{b} v (t) d t$
$v (t) = v (a) + \int_{a}^{t} a (τ) d τ$
$v (t) = s^{'} (t), a (t) = v^{'} (t) = s^{''} (t)$

$Gia tốc không đổi$

$v (t) = v_{0} + a t$
$s (t) = s_{0} + v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$

Thể tích khối đa diện & khối tròn xoay

Lớp 12
· 15 công thức

$Khối đa diện$

$V = \frac{1}{3} B \cdot h$
$B$ là diện tích đáy, $h$ là chiều cao
$V = B \cdot h$
$V = ab c$
$d = a^{2} + b^{2} + c^{2}$
$V = a^{3}, S_{tp} = 6 a^{2}, d = a 3$
$\frac{V _{S . A^{'} B^{'} C^{'}}}{V _{S . A B C}} = \frac{S A ^{'}}{S A} \cdot \frac{S B ^{'}}{S B} \cdot \frac{S C ^{'}}{S C}$

$Khối tròn xoay$

r

bán kính đáy,

h

chiều cao,

l

đường sinh,

R

bán kính mặt cầu.

$Khối nón$

$V = \frac{1}{3} π r^{2} h$
$S_{x q} = π r l$
$S_{tp} = π r (r + l)$
$l^{2} = r^{2} + h^{2}$

$Khối trụ & khối cầu$

$V = π r^{2} h$
$S_{x q} = 2 π r h$
$S_{tp} = 2 π r (r + h)$
$V = \frac{4}{3} π R^{3}$
$S = 4 π R^{2}$

Hình giải tích trong không gian Oxyz

Lớp 12
· 40 công thức

$Vectơ & toạ độ điểm$

$A B = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A})$
$u \pm v = (u_{1} \pm v_{1}; u_{2} \pm v_{2}; u_{3} \pm v_{3})$
$k u = (k u_{1}; k u_{2}; k u_{3})$
$u ∥ v \Leftrightarrow [u, v] = 0$
$∣ u ∣ = u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{2}$
$u \cdot v = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} + u_{3} v_{3}$
$cos (u, v) = \frac{u \cdot v}{∣ u ∣ \cdot ∣ v ∣}$
$u ⊥ v \Leftrightarrow u \cdot v = 0$
$M (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2}; \frac{z _{A} + z _{B}}{2})$
$G (\frac{x _{A} + x _{B} + x _{C}}{3}; \frac{y _{A} + y _{B} + y _{C}}{3}; \frac{z _{A} + z _{B} + z _{C}}{3})$

$Tích có hướng$

$[u, v] = (u_{2} v_{3} - u_{3} v_{2}; u_{3} v_{1} - u_{1} v_{3}; u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1})$
$S_{A B C} = \frac{1}{2} [A B, A C]$
$V_{A B C D} = \frac{1}{6} [A B, A C] \cdot A D$
$V = ∣ [u, v] \cdot w ∣$
$n_{(A B C)} = [A B, A C]$

$Mặt phẳng$

$A x + B y + C z + D = 0$
vectơ pháp tuyến $n = (A; B; C)$
$A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0$
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$
$d (M_{0}, (P)) = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$
$cos ((P), (Q)) = \frac{∣ n _{P} \cdot n _{Q} ∣}{∣ n _{P} ∣ \cdot ∣ n _{Q} ∣}$

$Đường thẳng$

$⎩ ⎨ ⎧ x = x_{0} + a t y = y_{0} + b t z = z_{0} + c t$
vectơ chỉ phương $u = (a; b; c)$
$\frac{x - x _{0}}{a} = \frac{y - y _{0}}{b} = \frac{z - z _{0}}{c}$
$ab c \neq = 0$
$cos (d_{1}, d_{2}) = \frac{∣ u _{1} \cdot u _{2} ∣}{∣ u _{1} ∣ \cdot ∣ u _{2} ∣}$
$d (M, d) = \frac{[ A M , u ]}{∣ u ∣}$
$A \in d$ , $u$ là vectơ chỉ phương
$d (d_{1}, d_{2}) = \frac{[ u _{1} , u _{2} ] \cdot A B}{∣ [ u _{1} , u _{2} ] ∣}$
$A \in d_{1}$ , $B \in d_{2}$
$sin (d, (P)) = \frac{∣ u \cdot n ∣}{∣ u ∣ \cdot ∣ n ∣}$

$Vị trí tương đối$

Hai đường thẳng $d_{1}, d_{2}$	Vị trí
$u_{1} ∥ u_{2}$ , $A \in / d_{2}$	Song song
$u_{1} ∥ u_{2}$ , $A \in d_{2}$	Trùng nhau
$[u_{1}, u_{2}] \cdot A B = 0$	Cắt nhau
$[u_{1}, u_{2}] \cdot A B \neq = 0$	Chéo nhau

Đường thẳng $d$ & $(P)$	Vị trí
$u ⊥ n$ , $M \in / (P)$	Song song
$u ⊥ n$ , $M \in (P)$	$d$ nằm trong $(P)$
$u \cdot n \neq = 0$	Cắt nhau

Hai mặt phẳng	Vị trí
$n_{1} ∥ n_{2}$ , $M \in / (P_{2})$	Song song
$n_{1} ∥ n_{2}$ , $M \in (P_{2})$	Trùng nhau
$n_{1}$ không cùng phương $n_{2}$	Cắt nhau

$Mặt cầu$

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$
tâm $I (a; b; c)$
$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 cz + d = 0$
$R = a^{2} + b^{2} + c^{2} - d$
$(P) ti \overset{ˊ}{\overset{e}{ˆ}} p x \overset{u}{ˊ} c (S) \Leftrightarrow d (I, (P)) = R$
$r = R^{2} - d^{2}$
$d = d (I, (P)) < R$

Xác suất có điều kiện & công thức Bayes

Lớp 12
· 8 công thức

$Xác suất có điều kiện$

$P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )}$
$P (B) > 0$
$P (A B) = P (B) \cdot P (A ∣ B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$
$A, B đ ộc lập \Leftrightarrow P (A ∣ B) = P (A)$
khi đó $P (A B) = P (A) P (B)$
$P (\overline{A} ∣ B) = 1 - P (A ∣ B)$

$Xác suất toàn phần & Bayes$

$P (A) = P (B) P (A ∣ B) + P (\overline{B}) P (A ∣ \overline{B})$
$P (B ∣ A) = \frac{P ( B ) P ( A ∣ B )}{P ( A )}$
$P (A) = i = 1 \sum n P (B_{i}) P (A ∣ B_{i})$
$B_{1}, \dots, B_{n}$ đôi một xung khắc và hợp lại bằng $Ω$
$P (B_{k} ∣ A) = \frac{P ( B _{k} ) P ( A ∣ B _{k} )}{\sum _{i = 1}^{n} P ( B _{i} ) P ( A ∣ B _{i} )}$

Sang các đề luyện tập →

Công thức Toán

Bảng biến thiên

Đọc dấu f′(x)

Cực trị theo f′′

Điều kiện theo dạng hàm

3 đường tiệm cận

Tâm đối xứng

Dáng đồ thị hàm bậc ba

Dáng đồ thị hàm trùng phương

Dáng đồ thị hàm phân thức

Các hàm số cơ bản

GTLN, GTNN trên [a;b]

Nguyên hàm cơ bản

Dạng ax+b

Tính chất tích phân

Đổi biến & từng phần

Cận đối xứng

Diện tích hình phẳng

Thể tích theo thiết diện

Thể tích khối tròn xoay

Quãng đường, vận tốc, gia tốc

Gia tốc không đổi

Khối đa diện

Khối tròn xoay

Khối nón

Khối trụ & khối cầu

Vectơ & toạ độ điểm

Tích có hướng

Mặt phẳng

Đường thẳng

Vị trí tương đối

Mặt cầu

Xác suất có điều kiện

Xác suất toàn phần & Bayes