Công thức Toán

Tra nhanh theo lớp và chủ đề. Công thức là văn bản thật nên phóng to bao nhiêu cũng nét, và tìm được bằng Ctrl+F.

Lớp 11: 5 chủ đề, 155 công thức.

Công thức & phương trình lượng giác

Lớp 11
· 66 công thức

$Đường tròn lượng giác$

M

trên đường tròn lượng giác:

x = cos α

y = sin α

Góc phần tư	$sin$	$cos$	$tan$
I	$+$	$+$	$+$
II	$+$	$-$	$-$
III	$-$	$-$	$+$
IV	$-$	$+$	$-$

$Giá trị lượng giác đặc biệt$

$x$	$sin x$	$cos x$	$tan x$
$0$	$0$	$1$	$0$
$\frac{π}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{3}{3}$
$\frac{π}{4}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{2}{2}$	$1$
$\frac{π}{3}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$3$
$\frac{π}{2}$	$1$	$0$	—
$π$	$0$	$- 1$	$0$
$\frac{3 π}{2}$	$- 1$	$0$	—
$2 π$	$0$	$1$	$0$

$Cung liên kết$

Đối nhau	Bù nhau
$sin (- x) = - sin x$	$sin (π - x) = sin x$
$cos (- x) = cos x$	$cos (π - x) = - cos x$
$tan (- x) = - tan x$	$tan (π - x) = - tan x$
$cot (- x) = - cot x$	$cot (π - x) = - cot x$

Hơn kém $π$	Phụ nhau
$sin (π + x) = - sin x$	$sin (\frac{π}{2} - x) = cos x$
$cos (π + x) = - cos x$	$cos (\frac{π}{2} - x) = sin x$
$tan (π + x) = tan x$	$tan (\frac{π}{2} - x) = cot x$
$cot (π + x) = cot x$	$cot (\frac{π}{2} - x) = tan x$

$Hệ thức cơ bản$

$sin^{2} x + cos^{2} x = 1$
$tan x = \frac{sin x}{cos x}, cot x = \frac{cos x}{sin x}$
$tan x \cdot cot x = 1$
$1 + tan^{2} x = \frac{1}{cos ^{2} x}$
$1 + cot^{2} x = \frac{1}{sin ^{2} x}$

$Công thức cộng$

$sin (a \pm b) = sin a cos b \pm cos a sin b$
$cos (a \pm b) = cos a cos b \mp sin a sin b$
$tan (a \pm b) = \frac{tan a \pm tan b}{1 \mp tan a tan b}$
$cot (a \pm b) = \frac{cot a cot b \mp 1}{cot b \pm cot a}$

$Nhân đôi, nhân ba, hạ bậc$

$sin 2 a = 2 sin a cos a$
$cos 2 a = cos^{2} a - sin^{2} a = 2 cos^{2} a - 1 = 1 - 2 sin^{2} a$
$tan 2 a = \frac{2 tan a}{1 - tan ^{2} a}$
$sin 3 a = 3 sin a - 4 sin^{3} a$
$cos 3 a = 4 cos^{3} a - 3 cos a$
$sin^{2} a = \frac{1 - cos 2 a}{2}$
$cos^{2} a = \frac{1 + cos 2 a}{2}$
$tan^{2} a = \frac{1 - cos 2 a}{1 + cos 2 a}$
$sin a cos a = \frac{1}{2} sin 2 a$
$cot 2 a = \frac{cot ^{2} a - 1}{2 cot a}$
$tan 3 a = \frac{3 tan a - tan ^{3} a}{1 - 3 tan ^{2} a}$

$Tổng thành tích$

$cos a + cos b = 2 cos \frac{a + b}{2} cos \frac{a - b}{2}$
$cos a - cos b = - 2 sin \frac{a + b}{2} sin \frac{a - b}{2}$
$sin a + sin b = 2 sin \frac{a + b}{2} cos \frac{a - b}{2}$
$sin a - sin b = 2 cos \frac{a + b}{2} sin \frac{a - b}{2}$

$Tích thành tổng$

$cos a cos b = \frac{1}{2} [cos (a - b) + cos (a + b)]$
$sin a sin b = \frac{1}{2} [cos (a - b) - cos (a + b)]$
$sin a cos b = \frac{1}{2} [sin (a + b) + sin (a - b)]$

$Phương trình cơ bản$

$sin x = sin α \Leftrightarrow [x = α + k 2 π x = π - α + k 2 π$
$k \in Z$
$cos x = cos α \Leftrightarrow [x = α + k 2 π x = - α + k 2 π$
$k \in Z$
$sin x = a \Leftrightarrow [x = arcsin a + k 2 π x = π - arcsin a + k 2 π$
$∣ a ∣ \leq 1$
$cos x = a \Leftrightarrow [x = arccos a + k 2 π x = - arccos a + k 2 π$
$∣ a ∣ \leq 1$
$tan x = tan α \Leftrightarrow x = α + k π$
$k \in Z$
$cot x = cot α \Leftrightarrow x = α + k π$
$k \in Z$

$Nghiệm đặc biệt$

Phương trình	Nghiệm
$sin x = 0$	$x = k π$
$sin x = 1$	$x = \frac{π}{2} + k 2 π$
$sin x = - 1$	$x = - \frac{π}{2} + k 2 π$
$cos x = 0$	$x = \frac{π}{2} + k π$
$cos x = 1$	$x = k 2 π$
$cos x = - 1$	$x = π + k 2 π$
$tan x = 0$	$x = k π$
$tan x = 1$	$x = \frac{π}{4} + k π$
$tan x = - 1$	$x = - \frac{π}{4} + k π$
$cot x = 0$	$x = \frac{π}{2} + k π$
$cot x = 1$	$x = \frac{π}{4} + k π$

$Bậc nhất với sin và cos$

$a sin x + b cos x = a^{2} + b^{2} sin (x + φ)$
$cos φ = \frac{a}{a ^{2} + b ^{2}}, sin φ = \frac{b}{a ^{2} + b ^{2}}$
$a sin x + b cos x = c c \overset{o}{ˊ} nghiệm \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} \geq c^{2}$

Cấp số cộng, cấp số nhân, mũ & logarit

Lớp 11
· 40 công thức

$Cấp số cộng$

$u_{n + 1} - u_{n} = d (kh \overset{o}{ˆ} ng đ ổi)$
$u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$
$S_{n} = \frac{n ( u _{1} + u _{n} )}{2} = \frac{n [ 2 u _{1} + ( n - 1 ) d ]}{2}$
$u_{k} = \frac{u _{k - 1} + u _{k + 1}}{2}$

$Cấp số nhân$

$u_{n + 1} = q \cdot u_{n} (kh \overset{o}{ˆ} ng đ ổi)$
$u_{n} = u_{1} \cdot q^{n - 1}$
$S_{n} = u_{1} \cdot \frac{1 - q ^{n}}{1 - q}$
$q \neq = 1$
$u_{k}^{2} = u_{k - 1} \cdot u_{k + 1}$
$S = \frac{u _{1}}{1 - q}$
$∣ q ∣ < 1$

$Luỹ thừa$

$a^{0} = 1$
$a \neq = 0$
$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$
$\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}$
$(a^{m})^{n} = a^{mn}$
$(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$
$(\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}}$
$a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$
$a^{\frac{m}{n}} = n a^{m}$
$a > 0$

$Logarit$

$lo g_{a} b = α \Leftrightarrow a^{α} = b$
$0 < a \neq = 1, b > 0$
$lo g_{10} b = l g b, lo g_{e} b = ln b$
$lo g_{a} (b c) = lo g_{a} b + lo g_{a} c$
$lo g_{a} \frac{b}{c} = lo g_{a} b - lo g_{a} c$
$lo g_{a} b^{α} = α lo g_{a} b$
$lo g_{a^{β}} b = \frac{1}{β} lo g_{a} b$
$β \neq = 0$
$lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a}$
$lo g_{a} b \cdot lo g_{b} c = lo g_{a} c$
$lo g_{a} b = \frac{1}{lo g _{b} a}$
$a^{l o g_{a} b} = b$
$lo g_{a} n b = \frac{1}{n} lo g_{a} b$
$lo g_{a} 1 = 0, lo g_{a} a = 1, lo g_{a} a^{α} = α$

$Đồ thị hàm mũ & logarit$

Hai đồ thị đối xứng nhau qua đường

y = x

y = a^{x}

luôn qua

(0; 1)

y = lo g_{a} x

luôn qua

(1; 0)

$y = a^{x}$	$y = lo g_{a} x$
Tập xác định $R$	Tập xác định $(0; + \infty)$
Tập giá trị $(0; + \infty)$	Tập giá trị $R$
Tiệm cận ngang $y = 0$	Tiệm cận đứng $x = 0$
Qua điểm $(0; 1)$	Qua điểm $(1; 0)$
$a > 1$ : đồng biến	$a > 1$ : đồng biến
$0 < a < 1$ : nghịch biến	$0 < a < 1$ : nghịch biến

$Phương trình mũ & logarit$

$a^{f (x)} = a^{g (x)} \Leftrightarrow f (x) = g (x)$
$0 < a \neq = 1$
$lo g_{a} f (x) = lo g_{a} g (x) \Leftrightarrow {f (x) = g (x) f (x) > 0$
$lo g_{a} f (x) x \overset{a}{ˊ} c đ ịnh \Leftrightarrow f (x) > 0$
$a^{f (x)} > a^{g (x)} \Leftrightarrow [f (x) > g (x) (a > 1) f (x) < g (x) (0 < a < 1)$
$lo g_{a} f (x) > lo g_{a} g (x) \Leftrightarrow [f (x) > g (x) > 0 (a > 1) 0 < f (x) < g (x) (0 < a < 1)$

Bảng đạo hàm & quy tắc tính

Lớp 11
· 25 công thức

$Quy tắc tính đạo hàm$

$(u \pm v)^{'} = u^{'} \pm v^{'}$
$(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$
$(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$
$(k u)^{'} = k \cdot u^{'}$
$(f (u))^{'} = f^{'} (u) \cdot u^{'}$

$Luỹ thừa & căn thức$

Hàm sơ cấp	Hàm hợp
$(c)^{'} = 0$	$(x)^{'} = 1$
$(k x + b)^{'} = k$	$(x^{α})^{'} = α x^{α - 1}$
$(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$	$(u^{n})^{'} = n u^{n - 1} u^{'}$
$(\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}$	$(\frac{1}{u})^{'} = - \frac{u ^{'}}{u ^{2}}$
$(x)^{'} = \frac{1}{2 x}$	$(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}$
$(\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{2 x x}$	$(\frac{1}{u})^{'} = - \frac{u ^{'}}{2 u u}$

$Hàm lượng giác$

Hàm sơ cấp	Hàm hợp
$(sin x)^{'} = cos x$	$(sin u)^{'} = u^{'} cos u$
$(cos x)^{'} = - sin x$	$(cos u)^{'} = - u^{'} sin u$
$(tan x)^{'} = \frac{1}{cos ^{2} x} = 1 + tan^{2} x$	$(tan u)^{'} = \frac{u ^{'}}{cos ^{2} u}$
$(cot x)^{'} = - \frac{1}{sin ^{2} x} = - (1 + cot^{2} x)$	$(cot u)^{'} = - \frac{u ^{'}}{sin ^{2} u}$

$Hàm mũ & logarit$

Hàm sơ cấp	Hàm hợp
$(e^{x})^{'} = e^{x}$	$(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$
$(a^{x})^{'} = a^{x} ln a$	$(a^{u})^{'} = u^{'} a^{u} ln a$
$(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$	$(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$
$(lo g_{a} x)^{'} = \frac{1}{x ln a}$	$(lo g_{a} u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u ln a}$
$(e^{k x + b})^{'} = k e^{k x + b}$	$(a^{k x + b})^{'} = k ln a \cdot a^{k x + b}$

$Đạo hàm phân thức$

$(\frac{a x + b}{c x + d})^{'} = \frac{a d - b c}{( c x + d ) ^{2}}$
$(\frac{a x ^{2} + b x + c}{p x + q})^{'} = \frac{a p x ^{2} + 2 a q x + b q - c p}{( p x + q ) ^{2}}$

$Tiếp tuyến & vi phân$

$y = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + f (x_{0})$
hệ số góc $k = f^{'} (x_{0})$
$d y = f^{'} (x) d x$
$f^{''} (x) = (f^{'} (x))^{'}$

Giới hạn dãy số, hàm số & tính liên tục

Lớp 11
· 12 công thức

$Giới hạn dãy số thường gặp$

$lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n ^{k}} = 0$
$k > 0$
$lim_{n \to + \infty} q^{n} = 0$
$∣ q ∣ < 1$
$lim_{n \to + \infty} n^{k} = + \infty$
$k > 0$
$lim_{n \to + \infty} a^{1/ n} = 1$
$a > 0$

$Phép toán giới hạn$

$lim (f \pm g) = lim f \pm lim g$
$lim (f g) = (lim f) (lim g)$
$lim \frac{f}{g} = \frac{lim f}{lim g}$
$lim g \neq = 0$
$lim [f (x)]^{k} = [lim f (x)]^{k}$
$k \in N^{*}$
$lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1$
$x$ tính bằng radian

$Hàm số liên tục$

$f li \overset{e}{ˆ} n tục tại x_{0} \Leftrightarrow lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0})$
$lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = f (x_{0})$
$f (a) f (b) < 0 \Rightarrow \exists c \in (a; b) : f (c) = 0$
$f$ liên tục trên $[a; b]$

Quan hệ đường thẳng & mặt phẳng trong không gian

Lớp 11
· 12 công thức

$Quan hệ song song$

$d ∥ a, a \subset (P), d \neq \subset (P) \Rightarrow d ∥ (P)$
$a ∥ a^{'}, b ∥ b^{'} \Rightarrow (P) ∥ (Q)$
$a, b$ cắt nhau trong $(P)$ ; $a^{'}, b^{'}$ cắt nhau trong $(Q)$
$(P) \cap (Q) = d, a \subset (P), a ∥ (Q) \Rightarrow d ∥ a$

$Quan hệ vuông góc$

$d ⊥ a, d ⊥ b \Rightarrow d ⊥ (P)$
$a, b$ là hai đường thẳng cắt nhau trong $(P)$
$d \subset (P), d ⊥ (Q) \Rightarrow (P) ⊥ (Q)$
$a ⊥ (P), b ⊥ (P) \Rightarrow a ∥ b$
$(P) ⊥ d, (Q) ⊥ d \Rightarrow (P) ∥ (Q)$

$Góc & khoảng cách$

$(d, (P)) = (d, d^{'})$
$d^{'}$ là hình chiếu vuông góc của $d$ trên $(P)$
$d (M, (P)) = M H$
$H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $(P)$
$d (d, (P)) = d (M, (P))$
$d ∥ (P)$ và $M \in d$
$d ((P), (Q)) = d (M, (Q))$
$(P) ∥ (Q)$ và $M \in (P)$
$d (a, b) = M N$
$M N$ là đoạn vuông góc chung của $a$ và $b$

Sang các đề luyện tập →